Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak tersebut adalah:
[tex]\vphantom{\big|}x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0[/tex].
Dalam bentuk himpunan penyelesaian:
[tex]\vphantom{\Big|}\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}[/tex]
Pembahasan
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Fungsi Rasional
Diberikan pertidaksamaan nilai mutlak:
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\end{aligned}[/tex]
Untuk bentuk pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini, kita dapat menyelesaikan dengan:
[tex]\begin{aligned}&\left|f(x)\right|\: > \:\left|g(x)\right|\\&\Rightarrow \left(f(x)\right)^2\: > \:\left(g(x)\right)^2\end{aligned}[/tex]
Maka,
[tex]\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2\: > \:\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}\: > \:\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}-\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2(x-1)^2-(x+2)^2(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{\left[(x-2)(x-1)\right]^2-\left[(x+2)(x+1)\right]^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{\left[(x-2)(x-1)\right]^2-\left[(x-2)(x-1)+6x\right]^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\bigg|}\quad\to\left[\ a^2-(a+b)^2=-2ab-b^2\right.\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x(x-2)(x-1)-36x^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x^3+36x^2-24x-36x^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x^3-24x}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\underbrace{\frac{-12x\left(x^2+2\right)}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0}_{\div(-12)}\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{x\left(x^2+2\right)}{(x+1)^2(x-1)^2}\: < \:0\\\end{aligned}[/tex]
- Titik kritis: [tex]x=0,\ x=\pm i\sqrt{2},\ x=-1,\ x=1[/tex]
- Untuk [tex]x\in\mathbb{R}[/tex]: [tex]x=0,\ x=-1,\ x=1[/tex]
Penyelidikan interval
Kita perhatikan ruas kiri.
- Untuk semua [tex]x \not\in \{-1,1\}[/tex], penyebut sudah pasti positif karena berpangkat genap. Sedangkan jika [tex]x=-1[/tex] atau [tex]x=1[/tex], fungsi rasional menjadi tak terdefinisi.
- Pada pembilang, untuk semua [tex]x[/tex] yang memenuhi, [tex]\left(x^2+2\right)[/tex] sudah pasti bernilai positif.
Sehingga, yang menentukan nilai ruas kiri apakah kurang dari 0 atau tidak, adalah [tex]x[/tex].
Oleh karena itu, rentang nilai [tex]x[/tex] yang memenuhi adalah;
[tex]\begin{aligned}&\{x\mid x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\ -\ \{-1,1\}\\&=\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
Himpunan penyelesaian untuk
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\end{aligned}[/tex]
adalah:
[tex]\begin{aligned}\boxed{\,\vphantom{\Big|}\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\,}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
